UNA PROPUESTA DE TRABAJO EN LA CLASE DE GEOMETRÍA: TEOREMA DE THALES

Cecilia Lamela

Profesora de Matemática (UBA). Docente CBC-UBA y escuela media. Capacitadora de CePA. Integrante equipo de investigación en Didáctica de la Matemática CeFIEC-FCEyN -UBA. Coautora de Matemática 9 (2007), Tinta fresca ediciones, serie Al fin de cuentas . En este artículo plantea una propuesta para la enseñanza de la geometría que permite a los alumnos captar el modo de razonamiento propio de esta disciplina.


En el momento de pensaren una propuesta para la clase de geometría resulta ineludible plantearse una pregunta:


¿De qué se trata "hacer geometría"?

La geometría tiene una forma de razonamiento específica, diferente a la que se usa en otras ramas de la matemática. Algunas características son:

    • - Se trabaja con objetos que no existen en realidad, no pertenecen a un espacio real sino a uno teórico.
    • - Estos objetos se representan mediante dibujos. Pero el dibujo no porta de por sí las propiedades de los objetos o mejor dicho, las propiedades que "muestra" un dibujo están en la interacción entre el que interpreta y sus conocimientos.
    • - Es un trabajo de características deductivo no empírico.
    • - Se trabaja con enunciados generales y se establece cierto dominio de validez. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se refiere a una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Es un enunciado general pues al decir un en el enunciado nos estamos refiriendo a cualquier triángulo rectángulo, pero tiene un cierto dominio de validez pues no se cumple esta relación en cualquier triángulo sino solo en los triángulos rectángulos.

Estamos pensando en un tipo de trabajo que supone realizar anticipaciones infiriendo, a partir de los datos y de las propiedades, relaciones que no están en el enunciado y establecer el carácter necesario de esos resultados independientemente de la experimentación.

Tomemos como ejemplo el siguiente problema presentado en un libro de 9º año, en el cual se pide comparar áreas:

 

Notemos que no se dan las medidas, así para comparar las áreas es necesario interpretar las relaciones de la figura, no alcanza con la experimentación.

En este caso al ser un trapecio se tiene que las bases son paralelas, de este modo se pueden determinar los triángulos ADB y ACB que tiene igual altura e igual base y concluir que área ADB = área ACB. Todo esto se apoya en una relación con la que los alumnos han trabajado anteriormente:

Si dos triángulos tienen igual base e igual altura entonces tienen igual área.

Siguiendo con el razonamiento, como ambos triángulos comparten AOB, si a iguales áreas se le quita la misma área, lo que queda (área AOD y área COB) tiene que tener igual área.

De este modo, es posible llegar a la conclusión que los triángulos que se comparan aunque tienen distinta forma, tienen igual área .

En este problema, a partir de los datos - es un trapecio - y de las propiedades - tiene dos lados paralelos, triángulos de igual base e igual altura tienen igual área, etc. - se llega a conclusiones de carácter necesario: los triángulos comparados tienen igual área y no es posible que sea de otra manera.

Es tarea de la enseñanza generar condiciones que permitan a los alumnos ponerse en contacto con este modo de pensar propio de la Geometría.

Analizaremos un tratamiento posible del teorema de Thales a partir de la semejanza de triángulos. Existen diversos enunciados, el más tradicional y conocido es:

Si tres o más paralelas son cortadas por transversales los segmentos determinados sobre una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados sobre la otra.

Pero, ¿cómo probar este enunciado en la clase de matemática? ¿Cómo tener una demostración accesible a los conocimientos de los alumnos?

Tomemos como punto de partida el trabajo previo con figuras semejantes y el trabajo con los siguientes problemas del mismo libro

 



 

En el caso del problema 5 pareciera ser solo un problema más para comparar áreas donde se reutiliza una de las conclusiones trabajadas en el problema 4 anterior, pero en este caso será un punto de apoyo para validar la proporcionalidad de segmentos determinados entre paralelas apoyados en otro conocimiento que es posible construir a partir del trabajo con el problema 6. En este caso los alumnos pueden llegar a la relación:

Si dos triángulos tienen igual altura, la razón entre las áreas es igual a la razón entre las bases de los triángulos.

Se relacionan áreas de triángulos analizando la relación que existe entre sus bases bajo la condición de tener alturas iguales. De este modo, la medida de la altura no interfiere en la relación entre las áreas.

Con todos estos problemas y los conocimientos que se generan a partir del trabajo con ellos se puede deducir que:

Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales entonces sus lados son proporcionales y por lo tanto son semejantes .

En el capítulo 4 del libro de 9º año se presenta una validación de esto apoyada en los conocimientos construidos anteriormente.



 

Nuevamente, apoyados en las relaciones construidas a partir del trabajo con los problemas anteriores es posible probar que si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, los otros lados quedan partidos en segmentos proporcionales.




De este modo hemos introducido el siguiente enunciado del teorema de Thales:

Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, los otros lados quedan partidos en segmentos proporcionales.

Y llegamos al enunciado tradicional de este teorema a partir del anterior, realizando una extensión de las rectas transversales hasta formar un triángulo.

Se prioriza este enunciado del teorema de Thales, pues a partir del mismo es posible presentar a nuestros alumnos una demostración próxima a sus conocimientos.

Una pregunta necesaria a la hora de decidir demostrar un teorema en la clase de matemática es ¿para qué demostrar el teorema de Thales? ¿Con solo conocerlo y aplicarlo no alcanza?

Como se dijo al principio, la enseñanza de la geometría implica un modo diferente de pensar, no radica solo en conocer una propiedad o un teorema sino en cómo se obtiene ese resultado.

El trabajar con problemas que les permitan a nuestros alumnos producir nuevo conocimiento les permite abandonar un lugar de receptores de razonamiento producido por otros para ponerlos en un lugar de protagonistas de sus propias deducciones.

Presentar una demostración posible de éste y otros teoremas no es interesante sólo por el hecho de que sepan los teoremas sino porque existe una forma de razonar específica al dominio geométrico. Es importante darles la oportunidad a nuestros alumnos de acceder a esa forma de pensar y a la experiencia de involucrarse en otro tipo de razonamiento.