---

 

En este texto se analizan algunos aspectos del trabajo matemáitco en clases cuyos docentes adhiere a diferentes enfoques didácticos. La autora se detiene en las decisiones del docente y sus consecuencias en el aprendizaje de los alumnos

 

---

 

¿Cómo se trabaja en Matemática?

Es bastante frecuente escuchar y leer que las clases de matemáticas deben partir de problemas o situaciones problemáticas. Ahora bien, a partir de la observación de numerosas clases se evidencia que el significado del trabajo en torno a problemas y las formas de encarar dicho trabajo son, en general, muy diferentes unas de otras, lo que conlleva a prácticas totalmente diferentes de un docente a otro. Es más, algunas se podría decir, son opuestas entre sí. Sin embargo, todos los docentes engloban su actividad en la de resolución de problemas. Es por esto que me interesa salir del malentendido y poner en discusión qué entendemos por trabajar a partir de la resolución de problemas.

¿Qué es un problema? Análisis a la luz de diferentes enfoques didácticos

"Los problemas matemáticos pueden resolverse en grupos."

No es posible iniciar el debate propuesto sin intentar responder la pregunta anterior. Y no hay una única respuesta. Creemos que la diferencia entre las respuestas que se puedan brindar no está dada sólo por la definición de problema que se considere, sino por el tipo de actividad matemática que se desarrolle en el aula, del enfoque didáctico implícito o explícito del docente.

Desde el modelo al que adhiero(1), un problema es una situación intra o extra matemática que admite diversas maneras de resolución, lo que implica la toma de decisiones por parte del alumno. O sea, la situación no debe ser de resolución inmediata, sino que debe plantearle al alumno una resistencia tal que le permita intentar resolverlo. Es decir, no debe ser ni muy fácil ni muy difícil.
No es posible afirmar que una situación con las características anteriores sea siempre un problema. Puede ser un problema para un alumno y no para otro.

"...un problema es una situcación intra o extra matemática que admite diversas maneras de resolución, lo que implica la toma de decisiones por parte del alumno..."

Una de las perspectivas de enseñanza-aprendizaje se podría vincular a un modelo explicación-ejemplos-ejercitación, en el cual el docente explica un tema, en general a partir de su definición, resuelve algunos ejemplos, y da ejercitación a los alumnos. El único modelo que los alumnos tienen del hacer Matemática es el docente resolviendo un problema sin dudar, sabiendo exactamente qué herramienta utilizar (la que se está enseñando). La lista de problemas que los alumnos tienen que resolver también se hará con la herramienta recién enseñada.
La selección de la estrategia de solución no forma parte de la actividad del alumno.
Sin embargo, en el momento de la evaluación se les pide que puedan reconocer de qué manera se resuelve cada uno de los problemas, actividad que casi nunca han tenido que hacer previamente.
La toma de decisiones no es una actividad que aparece seguido en este modelo.
No debería sorprendernos el bajo rendimiento de los alumnos. No han aprendido lo fundamental de un conocimiento matemático, que es cuándo se aplica. Se han quedado con el “cómo” y se ha perdido el “qué”. La enseñanza se reduce a una técnica, pero sin un dominio de validez.
Los alumnos reciben el mensaje de que resolver un problema es algo rápido. O bien se dan cuenta cómo se debe hacer al leerlo o no les sale.
No hay en este modelo un verdadero trabajo matemático, con hipótesis, búsquedas, idas y vueltas, afirmaciones verdaderas y falsas a analizar, discusiones. Se trabaja con los resultados a los que llegaron los matemáticos, ocultando el proceso que los llevó a ellos.

Surge entonces la pregunta, ¿qué tipo de matemática estamos pensando para la escuela? Propongo la siguiente cita de Bernard Charlot(2) a modo de respuesta.

¿Qué es estudiar matemáticas? Mi respuesta global  será que estudiar matemáticas es efectivamente HACERLAS, en el sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas, ya sea en la historia del pensamiento humano o en el aprendizaje individual.
No se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de  comprometerlos en un proceso de producción matemática donde la actividad que ellos desarrollen tenga el mismo sentido que el de los matemáticos que forjaron los conceptos matemáticos nuevos.
…
La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar.
…
Hacer matemáticas es un trabajo del pensamiento, que construye los conceptos para resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de conceptos así construidos, que rectifica los conceptos para resolver problemas nuevos, que generaliza y unifica poco a poco los conceptos en los universos matemáticos que se articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.”

" No se trata de hacer que los alumnos reinventen las matemáticas que ya existen sino de comprometerlos en un proceso de producción matemática ... La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar..."

Charlot plantea que la actividad de los alumnos debe ser la de hacer Matemática, tal como la hacen los matemáticos. Si bien parece muy difícil o aún imposible de lograr,  considero posible que los alumnos hagan Matemática durante su aprendizaje. Por supuesto, el trabajo irá evolucionando a medida que incorporen nuevos conocimientos teóricos y sobre cómo se trabaja en Matemática.

No importa cuál sea el enfoque didáctico del docente, no sólo se enseñan contenidos. Al participar de la clase, los alumnos van aprendiendo en qué consiste la participación, qué tipo de explicaciones son consideradas válidas, qué tipo de resoluciones se esperan, etc. Este conjunto de “contenidos” sobre la Matemática no pueden enseñarse de manera directa, haciendo una lista de cuestiones a tener en cuenta. La forma de trabajo se aprende, en general, de manera indirecta.

¿ Qué es necesario saber para trabajar en matemática?

 

Para que este modelo funcione es necesario que los alumnos incorporen una manera de trabajo donde se planteen hipótesis, las pongan a prueba, avancen o retrocedan en función de los resultados obtenidos. Y cada acción da información que puede ser interpretada matemáticamente.
Por ejemplo, los alumnos deben aprender a validar, es decir, tienen que dar cuenta de las relaciones que usan apoyándose en conceptos matemáticos.
La explicación toma mucha importancia en el tipo de trabajo propuesto, que debe ser comprensible para los demás y basada en argumentos matemáticos. Muchos docentes pensarán que los alumnos no saben explicar. Es cierto, pero la explicación es un contenido de enseñanza. Los profesores y maestros deben tenerlo como objetivo. Así, la calidad de las explicaciones irá evolucionando con el tiempo.
Creo que si los docentes tienen en cuenta estos objetivos acerca del trabajo sobre la Matemática, podrán elaborar estrategias para que los alumnos los incorporen.

Debemos considerar que los alumnos no aprenden solos, sino en un grupo clase. Así, las interacciones con el docente y los pares surgen como un elemento más de aprendizaje. Las discusiones sirven como retroacción del trabajo hecho, como un elemento de descentralización del propio pensamiento y de esa manera se va desplazando la responsabilidad de la validación del docente hacia los alumnos.
Los alumnos pueden hacerse cargo de la validación, aumentando de esta manera su nivel de compromiso y autonomía. Para esto, es necesario que el docente aprenda a escuchar a los alumnos de manera neutra, devolviendo la discusión a la clase y que solo intervenga en caso de ser necesario. Recordemos que el profesor es el representante de la Matemática en la clase y que cualquier afirmación suya será tratada como ley, anulando cualquier discusión.

No es mi intención describir aquí el funcionamiento de una clase de matemática, ya que sería una tarea imposible. Son tantas las variables que intervienen en el desarrollo de los acontecimientos que no son posibles de atrapar en un escrito.
Sí me interesa dar algunas características generales que sirvan para desarrollar estrategias para mejorar la calidad de la enseñanza y el aprendizaje.

En el modelo al cual adhiero  surge la figura del docente con una tarea muy compleja.
Los alumnos resuelven problemas en los que tienen que poner en juego la herramienta que se quiere enseñar. La función del docente, en este caso, es darle un estatuto matemático a esa herramienta.
Pero muchas veces esto no es posible. Hay objetos matemáticos más complejos que los alumnos solos no pueden usar. En este caso, los problemas constituirán una base para la explicación del docente. Éste se apoyará sobre relaciones que los alumnos hayan elaborado en el momento de la resolución. La herramienta aparecerá como necesaria para resolver un tipo de problemas.

Al resolver una situación, los conocimientos utilizados están contextualizados, al servicio del problema que se está intentando resolver. Los alumnos no saben qué de lo que están usando debe ser retenido, es un objeto reconocido en la Matemática ni en qué otras situaciones es aplicable. Será necesario un trabajo de descontextualización e institucionalización.
Los docentes tienen también como tarea no solo enseñar a sus alumnos a trabajar en Matemática y todo lo que ello implica, sino enseñarles a estudiar.

El aprendizaje necesita del trabajo individual del alumno, no solamente en clase sino en su casa. El tipo de tarea que se les asigne y el tratamiento que luego se haga de ella puede ayudar a que los alumnos formen una representación de qué significa estudiar Matemática.

A modo de ejemplo

Con el objetivo de mostrar de manera más contextualizada algunas de las características del modelo que acabamos de presentar, analizaré el siguiente problema:

Repartir 5 tortas iguales entre 4 chicos, de manera tal que a cada uno le toque la misma cantidad y no sobre nada.

Este es un clásico problema de reparto. Su riqueza sólo puede analizarse en función de los conocimientos previos de los alumnos y la finalidad de problema.
Si pensamos en chicos que ya saben fracciones y conocen su sentido como una herramienta para repartir, la actividad anterior no constituirá un problema. Será un mero ejercicio de aplicación.
Si en cambio, se lo presenta a alumnos de 4º grado que solo conocen fracciones simples, la actividad puede ser un problema para ellos.
¿Por qué decimos que puede serlo y no lo afirmamos? Porque dependerá del tratamiento que se haga del problema en el aula.
Si se les da el problema para que intenten resolverlo, previo a toda explicación, los alumnos intentarán aplicar las herramientas que conocen. La mayoría seguramente apelará al recurso gráfico.

Es esperable que muchos alumnos dividan cada torta en 4 partes iguales, probablemente usando dibujos de chicos y flechas, y concluyan que a cada uno le corresponde una de las cuatro partes en que se partió cada torta.

Es posible que escriban la respuesta como 5 de ó

Otros alumnos tal vez planteen otra partición:

Y lleguen a la conclusión de que cada chico comerá 2 de

También pueden darse cuenta de que hay una torta entera para cada chico, y que la restante puede ser partida en 4 partes iguales.

En este caso, cada chico comerá 1

Durante la resolución del problema, que puede hacerse en grupos, la tarea del docente será ayudar a los alumnos en caso de bloqueos, tratando de no emitir juicios acerca de la validez de las respuestas. De esa manera, se podrá discutir sobre las distintas soluciones propuestas en una puesta en común.
Surgen entonces, para el docente, distintas cuestiones a tener en cuenta. Una, es que los alumnos discutan sobre las soluciones que cada uno propone, decidiendo si son correctas o no. Luego de esto, hay en el escenario distintas maneras de representar un mismo número. Como queda claro a partir de todos los dibujos hechos, los repartos son correctos, por lo tanto los diferentes números tienen que ser iguales. Este hecho es sorprendente para los alumnos, ya que en el conjunto de los números enteros cada número tiene una sola manera de expresarse. Este problema permite discutir sobre esta cuestión. Deja de ser un enunciado externo para convertirse en uno construido por los alumnos.
¿Qué debería quedar registrado en los cuadernos o carpetas hasta ahora? Es importante decidirlo de antemano porque lo que no queda escrito es muy difícil de recuperar más adelante. De esta manera, los cuadernos se constituirán en una herramienta desde donde los alumnos pueden estudiar.
Si bien es una decisión del docente, creemos que hay dos cuestiones que hasta este momento son importantes. Una es la discusión acerca de las distintas maneras de repartir. Otra es que cada número tiene más de una manera de ser escrito y que esto no sucede con los números naturales.
Resta ahora que el docente les muestre a los alumnos cómo es posible que números con apariencias tan diferentes valgan lo mismo. Para ello, es necesario usar distintas relaciones entre fracciones (doble, mitad) que pueden ser un conocimiento previo o uno que se construya en el contexto del problema.
También puede definirse en la puesta en común que es 5 de .

Este problema, considerando que los alumnos sólo saben fracciones básicas, se constituye en una situación que permite construir un conocimiento. Decimos que permite construirlo y no que lo construye porque dependerá del tratamiento que se haga con él. Los conocimientos no surgen solos luego de la mera resolución del problema. Es necesario que el docente tenga por finalidad enseñar un determinado objeto o sentido del objeto.

" Los conocimientos no surgen solos luego de la mera resolución del problema. Es necesario que el docente tenga por finalidad enseñar un determinado objeto o sentido del objeto."

Si se trabaja con una secuencia de problemas que permitan definir diferentes tipos de fracciones y relaciones entre ellas, se podrá además, vincular a la fracción con la división.
Por ejemplo, si para repartir se divide, el resultado de repartir 5 tortas entre 4 chicos se obtiene dividiendo 5 por 4. Pero ellos ya han encontrado que a cada alumno le corresponde  de torta, entonces, .
Este problema, junto con otros, puede usarse para trabajar un sentido de las fracciones, que es el reparto, pero también para hallar relaciones entre fracciones y para vincular la fracción con la división. Pero si el docente no tiene planificado usar el problema para desarrollar todas estas cuestiones, no van a aparecer solas.

Los alumnos sólo harán el reparto, y es tarea del docente poner en escena los demás contenidos que pueden trabajarse.

 

A modo de conclusión

Como ya hemos visto, no pretendí atrapar la complejidad de una clase de Matemática en este escrito, pero sí quise mostrar algunos aspectos que diferencian este modelo de otros.
El docente adquiere un rol muy importante y complejo. Para poder cumplirlo es necesario que la planificación de las clases sea minuciosa, que la selección de problemas responda a lo que se quiere enseñar y no que primero se elijan los problemas para después ver qué se puede enseñar a partir de ellos.

Otra de las cuestiones importantes señaladas es la responsabilidad del docente de enseñar cuestiones que no son contenidos matemáticos, pero que son necesarios para hacer Matemática. Esto también requiere de una planificación y selección de actividades.